Moving Average Smoothing Filter Matlab

Remova o ruído e os componentes periódicos dos conjuntos de dados, preservando os padrões subjacentes. Os algoritmos de suavização são freqüentemente usados ​​para remover componentes periódicos de um conjunto de dados, preservando as tendências a longo prazo. Por exemplo, os dados da série temporal que são amostrados uma vez por mês muitas vezes exibem flutuações sazonais. Um filtro de média móvel de doze meses removerá o componente sazonal, preservando a tendência a longo prazo. Alternativamente, os algoritmos de suavização podem ser usados ​​para gerar um modelo descritivo para análise de dados exploratórios. Esta técnica é freqüentemente usada quando não é prático especificar um modelo de parâmetro que descreva a relação entre um conjunto de variáveis. As técnicas de suavização de sinais ou séries temporais são usadas em uma variedade de disciplinas, incluindo processamento de sinal, identificação do sistema, estatísticas e econometria. Os algoritmos de suavização comuns incluem: LOWESS e LOESS: Métodos de suavização não paramétricos usando modelos de regressão locais Suavização do kernel: abordagem não paramétrica para modelar uma função de distribuição suave Corrediças de suavização: abordagem não paramétrica para ajuste de curva Filtro ARREE: filtro usado quando os dados exibem autocorrelação em série Filtro Hodrick-Prescott: Filtro usado para suavizar as séries temporais econométricas extraindo os componentes sazonais. Filtro de suavização SavitzkyGolay: Filtro usado quando um sinal possui informações de alta freqüência que devem ser mantidas Filtro Butterworth: Filtro usado no processamento de sinal para remover ruído de alta freqüência Selecione Seu País Muitas experiências em ciência, as amplitudes reais do sinal (valores do eixo y) mudam de forma bastante suave como uma função dos valores dos eixos x, enquanto muitos tipos de ruído são vistos como mudanças aleatórias e aleatórias de amplitude de ponto a ponto dentro do sinal. Na última situação, pode ser útil em alguns casos tentar reduzir o ruído por um processo chamado suavização. Na suavização, os pontos de dados de um sinal são modificados de modo que os pontos individuais que são superiores aos pontos imediatamente adjacentes (presumivelmente devido ao ruído) são reduzidos e os pontos mais baixos do que os pontos adjacentes são aumentados. Isso, naturalmente, leva a um sinal mais suave (e a uma resposta de passo mais lenta às mudanças de sinal). Enquanto o verdadeiro sinal subjacente for realmente suave, então o sinal verdadeiro não será muito distorcido por suavização, mas o ruído de alta freqüência será reduzido. Em termos de componentes de frequência de um sinal, uma operação de suavização atua como um filtro passa-baixa. Reduzindo os componentes de alta freqüência e passando os componentes de baixa freqüência com pouca mudança. Algoritmos de suavização. A maioria dos algoritmos de suavização são baseados na técnica de mudança e multiplicação, em que um grupo de pontos adjacentes nos dados originais são multiplicados ponto a ponto por um conjunto de números (coeficientes) que define a forma lisa, os produtos são adicionados e Dividido pela soma dos coeficientes, que se torna um ponto de dados suavizados, então o conjunto de coeficientes é deslocado um ponto para baixo dos dados originais e o processo é repetido. O algoritmo de alisamento mais simples é o vagão rectangular ou a média deslizante não ponderada suavizada, simplesmente substitui cada ponto no sinal pela média de pontos adjacentes, onde m é um inteiro positivo chamado de largura lisa. Por exemplo, para um ponto de 3 pontos (m 3): para j 2 a n-1, onde S j o ponto j no sinal alisado, Y j o ponto j no sinal original e n é o total Número de pontos no sinal. Operações suaves semelhantes podem ser construídas para qualquer largura lisa desejada, m. Normalmente, m é um número ímpar. Se o ruído nos dados for ruído branco (ou seja, uniformemente distribuído em todas as freqüências) e seu desvio padrão é D. Então, o desvio padrão do ruído restante no sinal após a primeira passagem de uma média lisa de deslizamento não ponderada será aproximadamente s sobre a raiz quadrada de m (D sqrt (m)), onde m é a largura lisa. Apesar de sua simplicidade, este suave é realmente otimizado para o problema comum de reduzir o ruído branco, mantendo a resposta passo a passo mais nítida. A resposta a uma mudança de passo é de fato linear. Então este filtro tem a vantagem de responder completamente sem nenhum efeito residual com o tempo de resposta. Que é igual à largura lisa dividida pela taxa de amostragem. O triangular suave é como o retangular suave, acima, exceto que ele implementa uma função de suavização ponderada. Para um ponto de 5 pontos (m 5): para j 3 a n-2, e de forma semelhante para outras larguras lisas (veja a planilha UnitGainSmooths. xls). Em ambos os casos, o número inteiro no denominador é a soma dos coeficientes no numerador, o que resulta em um ganho de unidade suave que não tem efeito no sinal onde é uma linha reta e que preserva a área sob picos. Muitas vezes, é útil aplicar uma operação de suavização mais de uma vez, ou seja, para suavizar um sinal já alisado, para construir lisos mais longos e mais complicados. Por exemplo, o retângulo triangular de 5 pontos acima é equivalente a duas passagens de um retangular suave de 3 pontos. Três passagens de um resultado suave retangular de 3 pontos em um pseudo-gaussiano de 7 pontos ou um palheiro liso, para o qual os coeficientes estão na proporção 1: 3: 6: 7: 6: 3: 1. A regra geral é que n passa de um w-width smooth resulta em uma largura lisa combinada de n w-n 1. Por exemplo, 3 passagens de um resultado suave de 17 pontos em um liso de 49 pontos. Esses lisos de passagem múltipla são mais eficazes para reduzir o ruído de alta freqüência no sinal do que um retangular suave, mas exibem uma resposta passo a passo mais lenta. Em todos esses lisos, a largura do m liso é escolhida para ser um inteiro ímpar, de modo que os coeficientes suaves são simetricamente equilibrados em torno do ponto central, o que é importante porque preserva a posição do eixo x dos picos e outros recursos no sinal. (Isto é especialmente crítico para aplicações analíticas e espectroscópicas porque as posições de pico são muitas vezes importantes objetivos de medição). Observe que estamos supondo que os intervalos do eixo x do sinal são uniformes, ou seja, que a diferença entre os valores do eixo x dos pontos adjacentes é a mesma ao longo do sinal. Isso também é assumido em muitas das outras técnicas de processamento de sinais descritas neste ensaio, e é uma característica muito comum (mas não necessária) de sinais que são adquiridos por equipamentos automatizados e informatizados. O Savitzky-Golay liso é baseado na montagem de polinômios de mínimos quadrados para segmentos dos dados. O algoritmo é discutido em wire. tu-bs. deOLDWEBmameyercmrsavgol. pdf. Comparado com os lisos médios deslizantes, o liso de Savitzky-Golay é menos eficaz para reduzir o ruído, mas é mais eficaz em manter a forma do sinal original. É capaz de diferenciar, bem como suavizar. O algoritmo é mais complexo e os tempos computacionais são maiores do que os tipos suaves discutidos acima, mas com computadores modernos a diferença não é significativa e o código em vários idiomas está amplamente disponível on-line. Veja SmoothingComparison. html. A forma de qualquer algoritmo de suavização pode ser determinada pela aplicação de uma função delta suave a delta. Um sinal consistindo em todos os zeros, exceto por um ponto, como demonstrado pelo simples script MatlabOctave, DeltaTest. m. Redução de ruído . Suavização normalmente reduz o ruído em um sinal. Se o ruído é branco (ou seja, distribuído uniformemente em todas as freqüências) e seu desvio padrão é D. Então o desvio padrão do ruído restante no sinal após uma passagem de um retangular suave será aproximadamente D sqrt (m), onde m é a largura lisa. Se um toque triangular for usado, o ruído será um pouco menor, cerca de D 0.8sqrt (m). As operações de suavização podem ser aplicadas mais de uma vez: ou seja, um sinal previamente suavizado pode ser liso novamente. Em alguns casos, isso pode ser útil se houver uma grande quantidade de ruído de alta freqüência no sinal. No entanto, a redução do ruído para o ruído branco é menor em cada liso sucessivo. Por exemplo, três passagens de um retangular suave reduzem o ruído branco por um fator de aproximadamente D 0.7sqrt (m), apenas uma ligeira melhoria em duas passagens. A distribuição de frequência do ruído, designada por cor de ruído. Substancialmente afeta a capacidade de suavização para reduzir o ruído. A função MatlabOctave NoiseColorTest. m compara o efeito de um carro de caixa de 100 pontos (média deslizante não ponderada) suave no desvio padrão de ruído branco, rosa e azul, todos com um desvio padrão sem oscilação original de 1,0. Como o suavização é um processo de filtro de passagem baixa, ele faz com que o ruído de baixa freqüência (rosa e vermelho) seja menor e o ruído de alta freqüência (azul) mais do que o ruído branco. Observe que a computação do desvio padrão é independente da ordem dos dados e, portanto, de sua distribuição de distribuição de freqüência, um conjunto de dados não altera seu desvio padrão. O desvio padrão de uma onda senoidal é independente de sua freqüência. O suavização, no entanto, altera a distribuição de freqüência e o desvio padrão de um conjunto de dados. Efeitos finais e o problema dos pontos perdidos. Observe nas equações acima que o liso retangular de 3 pontos é definido apenas para j 2 a n-1. Não há dados suficientes no sinal para definir um ponto completo de 3 pontos para o primeiro ponto no sinal (j 1) ou para o último ponto (j n). Porque não há pontos de dados antes do primeiro ponto ou após o último ponto. (Da mesma forma, um ponto de 5 pontos é definido apenas para j 3 a n-2 e, portanto, um liso não pode ser calculado para os dois primeiros pontos ou para os dois últimos pontos). Em geral, para um m-width smooth, haverá (m -1) 2 pontos no início do sinal e (m -1) 2 pontos no final do sinal para o qual um mwidth liso completo não pode Ser calculado. O que fazer Existem duas abordagens. Um é aceitar a perda de pontos e cortar esses pontos ou substituí-los por zeros no sinal suave. (Essa é a abordagem tomada na maioria das figuras neste artigo). A outra abordagem é usar lisos progressivamente menores nas extremidades do sinal, por exemplo, para usar 2, 3, 5, 7. pontos suaves para os pontos de sinal 1, 2, 3 e 4. e para os pontos n, n-1 , N-2, n-3. respectivamente. A abordagem posterior pode ser preferível se as bordas do sinal contiverem informações críticas, mas aumentam o tempo de execução. A função fastsmooth discutida abaixo pode utilizar qualquer um desses dois métodos. Exemplos de suavização. Um exemplo simples de suavização é mostrado na Figura 4. A metade esquerda deste sinal é um pico ruidoso. A metade direita é o mesmo pico depois de sofrer um algoritmo de suavização triangular. O ruído é bastante reduzido, enquanto o pico em si dificilmente é alterado. O alisamento aumenta a relação sinal-ruído e permite que as características do sinal (posição do pico, altura, largura, área, etc.) sejam medidas com maior precisão por inspeção visual. Figura 4. A metade esquerda deste sinal é um pico ruidoso. A metade direita é o mesmo pico depois de sofrer um algoritmo de suavização. O ruído é muito reduzido, enquanto o pico em si dificilmente mudou, facilitando a medida da posição, altura e largura do pico diretamente por estimativa gráfica ou visual (mas não melhora as medidas feitas por métodos de mínimos quadrados, veja abaixo). Quanto maior a largura lisa, maior a redução do ruído, mas também maior a possibilidade de que o sinal seja distorcido pela operação de suavização. A escolha ideal da largura lisa depende da largura e forma do sinal e do intervalo de digitalização. Para sinais de tipo pico, o fator crítico é a proporção lisa. A proporção entre a largura lisa m e o número de pontos na metade da largura do pico. Em geral, aumentar a relação de suavização melhora a relação sinal-ruído, mas causa uma redução de amplitude e aumento na largura de banda do pico. Esteja ciente de que a largura lisa pode ser expressa de duas maneiras diferentes: (a) como o número de pontos de dados ou (b) como o intervalo do eixo x (para dados espectroscópicos normalmente em nm ou em unidades de freqüência). Os dois estão simplesmente relacionados: o número de pontos de dados é simplesmente o intervalo do eixo x vezes o incremento entre valores adjacentes do eixo x. A proporção suave é a mesma em ambos os casos. As figuras acima mostram exemplos do efeito de três diferentes larguras lisas em picos branda de forma gaussiana. Na figura a esquerda, o pico tem uma altura (verdadeira) de 2.0 e há 80 pontos na metade da largura do pico. A linha vermelha é o pico unmoothed original. As três linhas verdes sobrepostas são os resultados de alisar este pico com uma largura triangular de largura (de cima para baixo) 7, 25 e 51 pontos. Como a largura do pico é de 80 pontos, as proporções lisas destes três lisos são 780 0,09, 2580 0,31 e 5180 0,64, respectivamente. À medida que a largura suave aumenta, o ruído é progressivamente reduzido, mas a altura do pico também é reduzida ligeiramente. Para o maior liso, a largura do pico é ligeiramente aumentada. Na figura à direita, o pico original (em vermelho) tem uma altura real de 1.0 e uma largura média de 33 pontos. (Também é menos ruidoso do que o exemplo à esquerda.) As três linhas verdes sobrepostas são os resultados dos mesmos três triangulares de largura (de cima para baixo) 7, 25 e 51 pontos. Mas porque a largura do pico neste caso é de apenas 33 pontos, as proporções lisas destes três lisos são maiores - 0,21, 0,76 e 1,55, respectivamente. Você pode ver que o efeito de distorção de pico (redução da altura do pico e aumento da largura do pico) é maior para o pico mais estreito porque as proporções lisas são maiores. As proporções lisas superiores a 1,0 raramente são usadas devido à distorção de pico excessiva. Note-se que, mesmo no pior dos casos, as posições máximas não são efetuadas (assumindo que os picos originais eram simétricos e não sobrepostos por outros picos). Se a retenção da forma do pico é mais importante do que otimizar a relação sinal-ruído, o Savitzky-Golay tem a vantagem sobre os lisos médios deslizantes. Em todos os casos, a área total sob o pico permanece inalterada. Se as larguras dos picos variarem substancialmente, uma adaptação suave. Que permite que a largura suave varie através do sinal, pode ser usada. O problema com suavização é que muitas vezes é menos benéfico do que você pensa. É muito importante ressaltar que os resultados de suavização, como ilustrado na figura acima, podem ser enganosamente impressionantes porque empregam uma única amostra de um sinal ruidoso que é alisado em graus diferentes. Isso faz com que o espectador subestime a contribuição do ruído de baixa freqüência, o que é difícil de estimar visualmente porque há tão poucos ciclos de baixa freqüência no registro de sinal. Esse problema pode ser visualizado registrando uma série de amostras independentes de um sinal ruidoso consistindo em um único pico, conforme ilustrado nas duas figuras abaixo. Essas figuras mostram dez lotes sobrepostos com o mesmo pico, mas com ruído branco independente, cada um com uma cor de linha diferente, sem movimento à esquerda e suavizado à direita. A inspeção dos sinais suavizados à direita mostra claramente a variação na posição do pico, altura e largura entre as 10 amostras causadas pelo ruído de baixa freqüência restante nos sinais suavizados. Sem o barulho, cada pico teria uma altura de pico de 2, centro de pico em 500 e largura de 150. Só porque um sinal parece suave não significa que não há ruído. O ruído de baixa freqüência restante nos sinais após o alisamento ainda interferirá com a medida precisa da posição, altura e largura do pico. (Os scripts geradores abaixo de cada figura exigem que as funções gaussian. m, whitenoise. m e fastsmooth. m sejam baixadas de tinyurlcey8rwh.) Deve ficar claro que o alisamento raramente pode eliminar completamente o ruído, porque a maior parte do ruído está espalhada por uma ampla Faixa de freqüências e alisamento simplesmente reduz o ruído em parte da sua faixa de freqüência. Somente para alguns tipos muito específicos de ruído (por exemplo, ruído de freqüência discreta ou pontos de ponto único), há esperança de qualquer coisa próxima à eliminação completa do ruído. A figura à direita abaixo é outro exemplo de sinal que ilustra alguns desses princípios. O sinal consiste em dois picos gaussianos, um localizado em x50 e o segundo em x150. Ambos os picos têm uma altura de pico de 1,0 e um pico de metade da largura de 10, e um ruído branco aleatório normalmente distribuído com um desvio padrão de 0,1 foi adicionado ao sinal inteiro. O intervalo de amostragem do eixo x, no entanto, é diferente para os dois picos é 0,1 para o primeiro pico (de x0 a 100) e 1,0 para o segundo pico (de x100 a 200). Isto significa que o primeiro pico é caracterizado por dez vezes mais pontos que o segundo pico. Pode parecer que o primeiro pico é mais ruidoso do que o segundo, mas isso é apenas uma ilusão, a relação sinal-ruído para ambos os picos é 10. O segundo pico parece menos ruidoso apenas porque há menos amostras de ruído lá e tendemos a subestimar A dispersão de pequenas amostras. O resultado disso é que quando o sinal é alisado, o segundo pico é muito mais provável de ser distorcido pelo liso (torna-se mais curto e mais largo) do que o primeiro pico. O primeiro pico pode tolerar uma largura lisa muito maior, resultando em um maior grau de redução de ruído. (Da mesma forma, se ambos os picos são medidos com o método de ajuste de curva de mínimos quadrados, o ajuste do primeiro pico é mais estável com o ruído e os parâmetros medidos desse pico serão aproximadamente 3 vezes mais precisos do que o segundo pico, porque lá São 10 vezes mais pontos de dados nesse pico e a precisão de medição melhora aproximadamente com a raiz quadrada do número de pontos de dados se o ruído for branco). Você pode baixar o udx do arquivo de dados no formato TXT ou no formato Matlab MAT. Otimização do suavização. À medida que a proporção de suavização aumenta, o ruído é reduzido rapidamente no início, depois mais lentamente, e a altura do pico também é reduzida, lentamente no início, e mais rapidamente. O resultado é que o sinal-ruído aumenta rapidamente no início, então atinge o máximo. Isto é ilustrado na figura à esquerda para um pico gaussiano com ruído branco (produzido por este script MatlabOctave). Isso também mostra que a maior parte da redução de ruído é devido a componentes de alta freqüência do ruído, enquanto grande parte do ruído de baixa freqüência permanece no sinal, mesmo que seja suavizado. Qual é a melhor relação suave. Depende da finalidade da medição do pico. Se o objetivo final da medição for medir a altura ou a largura real do pico, então devem ser utilizadas proporções lisas abaixo de 0,2 e o preferido de Savitzky-Golay. Medir a altura dos picos ruidosos é melhor feito pela curva, ajustando os dados não suavizados em vez de tirar o máximo dos dados suavizados (veja CurveFittingC. htmlSmoothing). Mas se o objetivo do medidor é medir a posição do pico (valor do eixo x do pico), podem ser empregadas proporções lisas muito maiores se desejado, porque o alisamento tem pouco efeito na posição do pico (a menos que o pico seja assimétrico ou o O aumento na largura do pico é tanto que faz com que os picos adjacentes se sobreponham). Em aplicações de análise química quantitativa com base na calibração por amostras padrão, a redução da altura do pico causada pelo alisamento não é tão importante. Se as mesmas operações de processamento de sinal forem aplicadas às amostras e aos padrões, a redução da altura do pico dos sinais padrão será exatamente a mesma dos sinais da amostra e o efeito cancelará exatamente. Nesses casos, podem ser utilizadas larguras lisas de 0,5 a 1,0, se necessário, para melhorar ainda mais a relação sinal-ruído, conforme mostrado na figura a esquerda (para um simples retangular simples). Na química analítica prática, raramente são necessárias medições de altura de pico absoluto contra a solução padrão é a regra. (Lembre-se: o objetivo da análise quantitativa não é medir um sinal, mas sim medir a concentração do desconhecido). No entanto, é muito importante aplicar exatamente os mesmos passos de processamento de sinal aos sinais padrão quanto aos sinais da amostra, Caso contrário, um grande erro sistemático pode resultar. Para uma comparação mais detalhada dos quatro tipos de suavização considerados acima, consulte SmoothingComparison. html. (A) por razões estéticas, para preparar um gráfico mais bonito ou mais dramático de um sinal para inspeção visual ou publicações, especificamente para enfatizar o comportamento a longo prazo em curto prazo. Ou (b) se o sinal for subseqüentemente analisado por um método que seria degradado pela presença de muito ruído de alta freqüência no sinal, por exemplo, se as alturas dos picos forem determinadas visualmente ou graficamente ou usando o Função MAX, ou se a localização dos máximos, mínimos ou pontos de inflexão no sinal deve ser determinada automaticamente através da detecção de cruzamentos de zero em derivadas do sinal. A otimização da quantidade e do tipo de suavização é muito importante nesses casos (veja Differentiation. htmlSmoothing). Mas geralmente, se um computador estiver disponível para fazer medições quantitativas, é melhor usar métodos de mínimos quadrados nos dados não suavizados, ao invés de estimativas gráficas sobre dados suavizados. Se um instrumento comercial tiver a opção de suavizar os dados para você, é melhor desativar o suavização e gravar os dados não suavizados, você sempre pode suavizá-lo mais tarde para apresentação visual e será melhor usar os dados não suavizados para um mínimo de quadrados Montagem ou outro processamento que você deseja fazer mais tarde. O alisamento pode ser usado para localizar picos, mas não deve ser usado para medir picos. O cuidado deve ser usado no projeto de algoritmos que empregam o alisamento. Por exemplo, em uma técnica popular para pico de busca e medição. Os picos são localizados através da detecção de cruzamentos negativos para baixo na primeira derivação suavizada. Mas a posição, a altura e a largura de cada pico são determinadas pelo ajuste de curva de mínimos quadrados de um segmento de dados não imobilizados originais na proximidade do cruzamento zero. Dessa forma, mesmo que seja necessário um alisamento pesado para proporcionar uma discriminação confiável contra picos de ruído, os parâmetros de pico extraídos por ajuste de curva não são distorcidos pelo alisamento. (A) o alisamento não melhorará significativamente a precisão da medição de parâmetros por medidas de mínimos quadrados entre amostras de sinais independentes separadas, (b) todos os algoritmos de suavização são pelo menos ligeiramente com perdas, envolvendo pelo menos alguma alteração na forma e amplitude do sinal; (c) É mais difícil avaliar o ajuste inspecionando os resíduos se os dados forem suavizados, porque o ruído alisado pode ser confundido com um sinal real. E (d) suavizar o sinal subestimará gravemente os erros de parâmetros previstos pelos cálculos de propagação de erro e o método bootstrap. Lidar com picos e outliers. Às vezes, os sinais são contaminados com espigões muito altos e estreitos ou outliers que ocorrem em intervalos aleatórios e com amplitudes aleatórias, mas com larguras de apenas um ou alguns pontos. Isso não só parece feio, mas também perturba os pressupostos dos cálculos de mínimos quadrados porque não é normalmente distribuído barulho aleatório. Esse tipo de interferência é difícil de eliminar usando os métodos de suavização acima, sem distorcer o sinal. No entanto, um filtro mediano, que substitui cada ponto do sinal pela mediana (em vez da média) dos pontos adjacentes, pode eliminar completamente as espinhas estreitas com pouca alteração no sinal, se a largura das espinhas for apenas uma ou uma Poucos pontos e igual ou inferior a m. Veja en. wikipedia. orgwikiMedianfilter. A função killspikes. m é outra função de remoção de espigas que usa uma abordagem diferente, que localiza e elimina os pontos e manchas sobre eles usando a interpolação linear do sinal antes e depois. Ao contrário dos lisos convencionais, essas funções podem ser aplicadas de forma lucrativa antes das funções de montagem de mínimos quadrados. (Por outro lado, se os picos que são realmente o sinal de interesse e outros componentes do sinal estão interferindo com suas medidas, veja CaseStudies. htmlG). Uma alternativa ao alisamento para reduzir o ruído no conjunto acima dos sinais não imobilizados é a média do conjunto. Que pode ser executado neste caso muito simplesmente pelo gráfico de código MatlabOctave (x, mean (y)), o resultado mostra uma redução no ruído branco em cerca de sqrt (10) 3.2. Isso é suficiente para julgar que existe um único pico com forma gaussiana, que pode ser melhor medido por ajuste de curva (coberto em uma seção posterior) usando o código de proteção MatlabOctave (xmean (y), 0,0,1), com o Resultado que mostra um excelente acordo com a posição, altura e largura do pico gaussiano criado na terceira linha do script gerador (acima à esquerda). Condensando sinais superamplados. Às vezes, os sinais são gravados mais densamente (isto é, com intervalos menores do eixo x) do que realmente necessário para capturar todas as características importantes do sinal. Isso resulta em tamanhos de dados maiores do que necessários, o que retarda os procedimentos de processamento de sinal e pode cobrar capacidade de armazenamento. Para corrigir isso, os sinais superamplificados podem ser reduzidos em tamanho, quer eliminando pontos de dados (digamos, deixando cair todos os outros pontos ou cada terceiro ponto) ou substituindo grupos de pontos adjacentes por suas médias. A abordagem posterior tem a vantagem de usar, em vez de descartar pontos de dados estranhos, e age como suavização para fornecer alguma medida de redução de ruído. (Se o ruído no sinal original é branco e o sinal é condensado pela média de cada n pontos, o ruído é reduzido no sinal condensado pela raiz quadrada de n, mas sem alteração na distribuição de freqüência do ruído). Demonstração de Vídeo. Este vídeo de 18 segundos, de 3 MByte (Smooth3.wmv) demonstra o efeito do alisamento triangular em um único pico gaussiano com uma altura de pico de 1,0 e uma largura de pico de 200. A amplitude de ruído branco inicial é 0,3, dando um sinal inicial Rácio de redução de cerca de 3.3. Uma tentativa de medir a amplitude do pico e a largura do pico do sinal ruidoso, mostrada na parte inferior do vídeo, inicialmente são seriamente imprecisas por causa do ruído. Conforme a largura lisa é aumentada, no entanto, a relação sinal-ruído melhora e a precisão das medidas da amplitude do pico e da largura do pico são melhoradas. No entanto, acima de uma largura suave de cerca de 40 (proporção lisa 0,2), o alisamento faz com que o pico seja menor que 1,0 e mais largo do que 200, embora a relação sinal-ruído continue a melhorar à medida que a largura lisa é aumentada. (Esta demonstração foi criada no Matlab 6.5. O SPECTRUM, o aplicativo freeware Macintosh de processamento de sinal, inclui funções de suavização retangulares e triangulares para qualquer número de pontos. Folhas de cálculo. O alisamento pode ser feito em planilhas usando a técnica de mudança e multiplicação descrita acima. Folhas de cálculo smoothing. ods e smoothing. xls o conjunto de coeficientes de multiplicação está contido nas fórmulas que calculam os valores de cada célula dos dados suavizados nas colunas C e E. A coluna C executa um retangular liso de 7 pontos (1 1 1 1 1 1 1) e a coluna E faz um triangular triplo de 7 pontos (1 2 3 4 3 2 1), aplicado aos dados na coluna A. Você pode digitar (ou Copiar e colar) qualquer dado que você gosta na coluna A e Você pode estender a planilha para colunas de dados mais longas, arrastando a última linha de colunas A, C e E conforme necessário. Mas, para alterar a largura lisa, você precisaria alterar as equações nas colunas C ou E e copiar as alterações Toda a coluna. Sua prática comum Para dividir os resultados pela soma dos coeficientes para que o ganho líquido seja unidade e a área sob a curva do sinal suavizado seja preservada. As planilhas UnitGainSmooths. xls e UnitGainSmooths. ods contêm uma coleção de coeficientes de convolução de ganho unitário para lisos retangulares, triangulares e gaussianos de largura 3 a 29 no formato vertical (coluna) e horizontal (linha). Você pode copiar e colar essas em suas próprias planilhas. As planilhas MultipleSmoothing. xls e MultipleSmoothing. ods demonstram um método mais flexível em que os coeficientes estão contidos em um grupo de 17 células adjacentes (na linha 5, colunas I a Y), facilitando a mudança da forma e largura lisas (para cima Até um máximo de 17). Nesta planilha, o liso é aplicado três vezes seguidas, resultando em uma largura lisa efetiva de 49 pontos aplicada à coluna G. Comparado ao MatlabOctave, as planilhas são muito mais lentas, menos flexíveis e menos automatizadas. Por exemplo, nessas planilhas, para alterar o sinal ou o número de pontos no sinal, ou para alterar a largura ou o tipo de largura, você deve modificar a planilha em vários lugares, enquanto que faça o mesmo usando a função MatlabOctave fastsmooth ( Abaixo), você só precisa alterar os argumentos de entrada de uma única linha de código. E combinar várias técnicas diferentes em uma planilha é mais complicada do que escrever um script MatlabOctave que faz o mesmo. Suavização em Matlab e Octava. A função personalizada fastsmooth implementa mudar e multiplicar tipo suaviza usando um algoritmo recursivo. (Clique neste link para inspecionar o código ou clique com o botão direito do mouse para fazer o download para uso no Matlab). Fastsmooth é uma função Matlab da forma sfastsmooth (a, w, tipo, borda). O argumento a é o vetor de sinal de entrada w é o tipo de largura lisa (um número inteiro positivo) determina o tipo liso: o tipo1 dá um tipo liso retangular (tipo "sliding-average ou boxcar" )2, que dá um triangular suave, equivalente a duas passagens de uma média deslizante Type3 dá um liso pseudo-gaussiano, equivalente a três passagens de uma média deslizante, essas formas são comparadas na figura à esquerda. (Consulte SmoothingComparison. html para uma comparação desses modos de suavização). A borda do argumento controla como as bordas do sinal (os primeiros w2 pontos e os últimos pontos w2) são tratadas. Se edge0, as bordas são zero. (Neste modo, o tempo decorrido é independente da largura lisa. Isto dá o tempo de execução mais rápido). Se edge1, as bordas são alisadas com lisos progressivamente menores, mais perto do final. (Neste modo, o tempo de execução aumenta com o aumento de larguras lisas). O sinal suavizado é retornado como o vetor s. (Você pode deixar os dois últimos argumentos de entrada: fastsmooth (Y, w, tipo) suaviza com edge0 e fastsmooth (Y, w) suaviza com type1 e edge0). Comparado aos algoritmos suaves baseados em convolução, o fastsmooth usa um algoritmo recursivo simples que tipicamente dá tempos de execução muito mais rápidos, especialmente para grandes larguras lisas, ele pode suavizar um sinal de 1.000.000 pontos com uma média deslizante de 1000 pontos em menos de 0,1 segundo. Heres um exemplo simples de fastsmooth demonstrando o efeito no ruído branco (gráfico). SegmentedSmooth. m. Ilustrado à direita, é uma função segmentada de suavização de dunas de largura múltipla, com base no algoritmo fastsmoo th, que pode ser útil se as larguras dos picos ou o nível de ruído variarem substancialmente através do sinal. The syntax is the same as fastsmooth. m, except that the second input argument smoothwidths can be a vector . SmoothY SegmentedSmooth (Y, smoothwidths, type, ends) . The function divides Y into a number of equal-length regions defined by the length of the vector smoothwidths, then smooths each region with a smooth of type type and width defined by the elements of vector smoothwidths. In the graphic example in the figure on the right, smoothwidths31 52 91 . which divides up the signal into three regions and smooths the first region with smoothwidth 31, the second with smoothwidth 51, and the last with smoothwidth 91. Any number of smooth widths and sequence of smooth widths can be used. Type help SegmentedSmooth for other examples examples. DemoSegmentedSmooth. m demonstrates the operation with different signals consisting of noisy variable-width peaks that get progressively wider, like the figure on the right. SmoothWidthTest. m is a simple script that uses the fastsmooth function to demonstrate the effect of smoothing on peak height, noise, and signal-to-noise ratio of a peak. You can change the peak shape in line 7, the smooth type in line 8, and the noise in line 9. A typical result for a Gaussian peak with white noise smoothed with a pseudo-Gaussian smooth is shown on the left. Here, as it is for most peak shapes, the optimal signal-to-noise ratio occurs at a smooth ratio of about 0.8. However, that optimum corresponds to a significant reduction in the peak height . which could be a serious problem. A smooth width about half the width of the original unsmoothed peak produces less distortion of the peak but still achieves a reasonable noise reduction. SmoothVsCurvefit. m is a similar script, but is also compares curve fitting as an alternative method to measure the peak height without smoothing . This effect is explored more completely by the text below, which shows an experiment in Matlab or Octave that creates a Gaussian peak, smooths it, compares the smoothed and unsmoothed version, then uses the max, halfwidth. and trapz functions to print out the peak height, halfwidth, and area . (max and trapz are both built-in functions in Matlab and Octave, but you have to download halfwidth. m. To learn more about these functions, type help followed by the function name). x0:.1:10 yexp(-(x-5).2) plot(x, y) ysmoothedfastsmooth(y,11,3,1) plot(x, y,x, ysmoothed, r) disp(max(y) halfwidth(x, y,5) trapz(x, y)) disp(max(ysmoothed) halfwidth(x, ysmoothed,5) trapz(x, ysmoothed) 1 1.6662 1.7725 0.78442 2.1327 1.7725 These results show that smoothing reduces the peak height (from 1 to 0.784) and increases the peak width (from 1.66 to 2.13), but has no effect on the peak area, as long as you measure the total area under the broadened peak. Smoothing is useful if the signal is contaminated by non-normal noise such as sharp spikes or if the peak height, position, or width are measured by simple methods, but there is no need to smooth the data if the noise is white and the peak parameters are measured by least-squares methods, because the results obtained on the unsmoothed data will be more accurate (see CurveFittingC. htmlSmoothing ). The MatlabOctave user-defined function condense. m. condense(y, n). returns a condensed version of y in which each group of n points is replaced by its average, reducing the length of y by the factor n. (For x, y data sets, use this function on both independent variable x and dependent variable y so that the features of y will appear at the same x values). The MatlabOctave user-defined function medianfilter. m. medianfilter(y, w). performs a median-based filter operation that replaces each value of y with the median of w adjacent points (which must be a positive integer). killspikes. m is a threshold-based filter for eliminating narrow spike artifacts. The syntax is fy killspikes(x, y, threshold, width). Each time it finds a positive or negative jump in the data between y(n) and y(n1) that exceeds threshold, it replaces the next width points of data with a linearly interpolated segment spanning x(n) to x(nwidth1), See killspikesdemo. Type help killspikes at the command prompt. ProcessSignal is a MatlabOctave command-line function that performs smoothing and differentiation on the time-series data set x, y (column or row vectors). It can employ all the types of smoothing described above. Type help ProcessSignal. Returns the processed signal as a vector that has the same shape as x, regardless of the shape of y. The syntax is ProcessedProcessSignal(x, y, DerivativeMode, w, type, ends, Sharpen, factor1, factor2, SlewRate, MedianWidth) iSignal is an interactive function for Matlab that performs smoothing for time-series signals using all the algorithms discussed above . including the Savitzky-Golay smooth, a median filter, and a condense function, with keystrokes that allow you to adjust the smoothing parameters continuously while observing the effect on your signal instantly, making it easy to observe how different types and amounts of smoothing effect noise and signal, such as the height, width, and areas of peaks. (Other functions include differentiation, peak sharpening, interpolation, least-squares peak measurement, and a frequency spectrum mode that shows how smoothing and other functions can change the frequency spectrum of your signals). The simple script iSignalDeltaTest demonstrates the frequency response of iSignals smoothing functions by applying them to a single-point spike. allowing you to change the smooth type and the smooth width to see how the the frequency response changes. View the code here or download the ZIP file with sample data for testing. Use the A and Z keys to increase and decrease the smooth width, and the S key to cycle through the available smooth types. Hint: use the Gaussian smooth and keep increasing the smooth width until the peak shows. Note: you can right-click on any of the m-file links on this site and select Save Link As. to download them to your computer for use within Matlab. Unfortunately, iSignal does not currently work in Octave. This page is also available in French, at besteonderdelen. nlblogp4169. courtesy of Natalie Harmann and Anna Chekovsky . Last updated December, 2016. This page is part of A Pragmatic Introduction to Signal Processing , created and maintained by Prof. Tom OHaver. Department of Chemistry and Biochemistry, The University of Maryland at College Park. Comments, suggestions, bug reports, and questions should be directed to Prof. OHaver at tohumd. edu. Unique visits since May 17, 2008: